[转载]我对卡尔曼滤波的认识

ofourme

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kalman filter
kf是一种时域滤波器，在使用陀螺仪、加速度计的很多场合都需要用到（四轴、自平衡等，还有什么阿波罗飞船，导弹之类的，是不是貌似很高端啊，别怕其实就那么回事），资料介绍的比较多，但是复杂的数学令人生畏，用图表的方式总结下来龙去脉，利人利己吧！（其实是某某准备让本人去他们那讲讲，自己说不清楚不好吧，所以下了点功夫，^_^）
1、问题描述：针对线性动态系统，参见矩阵A，明显典型的一阶Markov Chain（这个不懂自己去查资料）
u：控制量；z：观测量；x：状态量；方框：矩阵，作用是左乘；圆：变量；星形：高斯白噪声，右下角为其方差；
 
状态转移过程：
 
观测计算过程：
 
另一种图描述得更好一些，蓝色是已知量，需要获得状态量或者它的好的估计，中间的lz-1表示一个延时： 
2、解决方案：
2.1 构建一个同结构的模型，粉红色表示估计量
 
虽然结构相同，但是无噪声，问题：1、缺初值x0的准确值的话无法工作；2、无噪声，计算有误差
2.2将上述结构改进，将观测量利用起来，（^_^废话，不用就靠猜了），设计一个反馈参与到估计过程中去，设法使得后验误差的协方差最小。带-的粉红变量表示先验估计(priori estimate)，指根据以往经验和分析得到，常表示为x(k|k-1)；不带的表示后验估计(posteriori estimate)，指利用观测量修正后的估计，常表示为x(k|k)；
 
关键在于K（卡尔曼增益，kalman gain）应该如何设置。详细推导过程见参考文献[1]（无非是求导，然后一堆简单的概率计算）。
因此，kf算法的详细过程包括两部分，也即是它的5个公式：
预测阶段：计算先验估计（P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance）
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
修正阶段：计算后验估计并更新先验估计的协方差
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其实，(3)和(4)本来应该倒过来的，没有Kg怎么计算(3)？大家都这么写就约定俗成了！
就这么简单，别想复杂了！
明显，算法过程中需要R和Q，观测噪声协方差R可以通过离线统计获得，而过程激励噪声协方差Q没有好办法获得（原因是无法之间观测到过程量xk）
参考文献：
1. 标量卡尔曼滤波  http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/Kalman/ScalarKalman.html#Alternate
里面有详细的推导过程
2. http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/
2. Xuchen Yao, Ph.D. Johns Hopkins University "An Introduction to the Kalman Filter" 翻译成中文了的，强烈推荐

正点原子

谢谢分享....

小李飞刀

楼主，可否解释下 Uk是什么？ 状态变量么？