已知旋转角度求坐标

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做一个多自由度的手臂，在已知各关节旋转角度的情况下，怎么用四元素求解各关节坐标最简单。目前我只会一个一个自由度的求。

DreamWaterPro

四元数只能表示旋转无法表示位移（也就是你机械臂每个关节到相邻关节的长度），因此只用四元数的话这个问题无解。

但是可以使用齐次坐标的方法来求解（当然用普通坐标+旋转矩阵+平移向量也可以，但是由于非线性表示的关系，你计算的关节点数越多，产生的加项越多，计算速度越慢）。
假设现在有三个关节P1 P2 P3依次相连，并且旋转角度已知。可以定义P1的当前位置为世界坐标系原点，三个关节的旋转角度已知，可以用欧拉角来表示（当然你用四元数也行），可以使用三个旋转向量表示这三个旋转，进而可以用Rodrigues公式转换为三个关节各自的旋转矩阵R1 R2 R3（如果是用四元数表示旋转，也可以利用结论直接转换，速度更快些）。这样旋转的部分搞定了。

再搞定平移。三个关节各自的旋转欧拉角已知，关节到关节之间的长度已知，可以直接利用三角函数关系求其在三个坐标轴上的长度分量，分别构成向量t1 t2 t3.

利用已知的旋转矩阵和平移向量，可以构成三个坐标点的齐次坐标下的变换矩阵T1 T2 T3。

设P1点坐标为P1=(0,0,0)T,T表示转置，使用粗斜体P1表示其齐次坐标的话，那么P3点坐标可以这样计算：

P3=T2·T1·P1

P3可以取P3的前三行，进而得到P3点坐标。

由于论坛上编辑数学公式异常困难，我也只能简单一提。除了这种方法还可以使用李群SE(3)和相应的李代数se(3)，利用扰动模型近似求导做位姿估计。不过这个有些难度，我也没有学明白。

这些东西数学上的东西比较多，建议找机器人运动控制、三维刚体运动学相关的书籍研究研究。